在数学中，一元二次方程是形如 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的方程，其中 \( a \neq 0 \)。这类方程广泛应用于物理、工程、经济学等领域。为了求解这类方程，我们通常使用著名的求根公式。

首先，我们需要确定方程的判别式 \( \Delta \)，它定义为 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。根据判别式的值，我们可以判断方程的根的情况：

1. 如果 \( \Delta > 0 \)，方程有两个不同的实数根。

2. 如果 \( \Delta = 0 \)，方程有一个重根（即两个相同的实数根）。

3. 如果 \( \Delta < 0 \)，方程有两个共轭复数根。

接下来，我们介绍求解一元二次方程的标准公式。设 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 分别为方程的两个根，则有：

\[

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

\]

这个公式的推导基于配方法或完成平方的方法。通过代入具体的系数 \( a \)、\( b \) 和 \( c \)，我们可以得到方程的具体解。

例如，对于方程 \( 2x^2 - 5x + 2 = 0 \)，我们有 \( a = 2 \)，\( b = -5 \)，\( c = 2 \)。计算判别式：

\[

\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9

\]

因为 \( \Delta > 0 \)，所以方程有两个不同的实数根。应用求根公式：

\[

x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}

\]

因此，两个根分别为：

\[

x_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}

\]

总结来说，一元二次方程的解可以通过求根公式 \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) 来求得。这种方法不仅适用于理论分析，也是实际问题解决中的重要工具。