层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种系统化、层次化的决策方法，广泛应用于多目标决策问题中。它通过将复杂的问题分解为多个层次，并对各层次进行两两比较，从而确定各个因素的权重。本文将以一个简单的例子来说明如何应用层次分析法解决实际问题。

假设我们正在考虑购买一辆新车，需要从三个候选车型中做出选择：A型车、B型车和C型车。为了做出最佳决策，我们需要综合考虑以下四个标准：价格、油耗、舒适性和安全性。接下来，我们将使用层次分析法逐步解决问题。

第一步：构建层次结构模型

首先，我们需要构建一个层次结构模型，该模型包括目标层、准则层和方案层。在这个例子中：

- 目标层：选择最合适的汽车

- 准则层：价格、油耗、舒适性和安全性

- 方案层：A型车、B型车和C型车

第二步：构造判断矩阵

对于准则层中的每个准则，我们需要构造一个判断矩阵，用于表示各准则之间的相对重要性。例如，在价格与油耗之间，我们可能认为价格更重要一些。因此，我们可以给价格赋值5分，而给油耗赋值1分。类似地，我们还可以对其他准则进行两两比较，最终得到如下判断矩阵：

| | 价格 | 油耗 | 舒适性 | 安全性 |

|---|------|------|--------|--------|

| 价格 | 1| 5| 3| 4|

| 油耗 | 1/5| 1| 1/2| 1/3|

| 舒适性 | 1/3| 2| 1| 2|

| 安全性 | 1/4| 3| 1/2| 1|

第三步：计算权重向量

接下来，我们需要计算每个准则的权重向量。这可以通过归一化处理来实现。具体步骤如下：

1. 对每一列求和；

2. 将每列的元素除以其所在列的总和；

3. 对每一行求平均值。

经过上述计算后，我们得到了各准则的权重向量：

- 价格：0.45

- 油耗：0.15

- 舒适性：0.25

- 安全性：0.15

第四步：构造方案层的判断矩阵

对于每个方案，我们也需要构造相应的判断矩阵。例如，针对A型车和B型车，我们可以根据它们在各个准则上的表现进行两两比较。假设我们得到了以下判断矩阵：

| | A型车 | B型车 | C型车 |

|---|-------|-------|-------|

| A型车 | 1 | 3 | 2 |

| B型车 | 1/3 | 1 | 1/2 |

| C型车 | 1/2 | 2 | 1 |

第五步：计算方案层的优先级向量

同样地，我们可以通过归一化处理来计算每个方案的优先级向量。假设最终得到的结果如下：

- A型车：0.5

- B型车：0.3

- C型车：0.2

第六步：计算综合得分

最后一步是计算每个方案的综合得分。综合得分等于各准则权重乘以相应方案在该准则上的得分之和。假设我们已经得到了各方案在每个准则上的具体得分，则可以计算出如下结果：

- A型车：0.45 0.5 + 0.15 0.3 + 0.25 0.4 + 0.15 0.6 = 0.47

- B型车：0.45 0.3 + 0.15 0.5 + 0.25 0.3 + 0.15 0.5 = 0.37

- C型车：0.45 0.2 + 0.15 0.2 + 0.25 0.3 + 0.15 0.4 = 0.26

综上所述，基于层次分析法得出的最佳选择是A型车。