在数学和实际应用中，概率与统计是两个非常重要的分支。它们帮助我们理解不确定性，并通过数据做出合理的推断。以下是对概率与统计核心知识点的全面归纳。
一、概率基础
1. 概率的基本定义
概率是一个事件发生的可能性大小，通常介于0到1之间。若P(A) = 0，则事件A不可能发生；若P(A) = 1，则事件A必然发生。
2. 概率的性质
- 非负性：P(A) ≥ 0
- 规范性：P(Ω) = 1，其中Ω为样本空间
- 加法公式：对于互斥事件A和B，P(A∪B) = P(A) + P(B)
3. 条件概率
条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)，计算公式为：
\[
P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)}
\]
4. 独立性
若事件A和B相互独立，则有P(A|B) = P(A)或P(B|A) = P(B)。
5. 贝叶斯定理
贝叶斯定理用于更新先验概率，公式如下：
\[
P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
\]
二、随机变量
1. 离散型随机变量
离散型随机变量的取值是有限或可列无限的。其概率分布可以用概率质量函数（PMF）表示。
2. 连续型随机变量
连续型随机变量的取值范围是某个区间。其概率分布用概率密度函数（PDF）描述，满足积分等于1的性质。
3. 期望与方差
- 期望：E(X) = ∑xP(x)（离散型）或E(X) = ∫x f(x)dx（连续型）
- 方差：Var(X) = E[(X - E(X))^2] 或 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
4. 常见分布
- 二项分布：适用于多次独立重复试验
- 泊松分布：适用于稀疏事件的发生
- 正态分布：适用于大量随机变量的叠加
三、统计基础
1. 总体与样本
总体是研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分。
2. 参数估计
- 点估计：用样本统计量估计总体参数
- 区间估计：给出参数的一个置信区间
3. 假设检验
假设检验分为原假设H₀和备择假设H₁，通过p值判断是否拒绝原假设。
4. 显著性水平α
显著性水平α是判断是否拒绝原假设的标准，通常取0.05或0.01。
5. 卡方检验
卡方检验用于检验分类数据的独立性和拟合优度。
6. 回归分析
回归分析用于研究变量之间的关系，常用线性回归模型。
四、数据分析方法
1. 数据可视化
数据可视化是数据分析的重要工具，常用的图表包括柱状图、折线图、饼图等。
2. 中心极限定理
中心极限定理表明，大量独立同分布随机变量的均值近似服从正态分布。
3. 相关性分析
相关性分析用于衡量两个变量之间的线性关系，常用皮尔逊相关系数。
4. 聚类分析
聚类分析用于将数据划分为若干组，使得同一组内的数据相似度高。
以上是对概率与统计知识点的全面归纳，涵盖了从基本概念到高级应用的核心内容。掌握这些知识点，可以帮助我们在科学研究、工程实践以及日常生活中更好地理解和应对不确定性问题。
