在数学分析中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握一些基本的导数公式能够帮助我们快速求解复杂的导数问题。以下是24个常见的基本导数公式，涵盖了幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数等。
1. 常数函数
$$
\frac{d}{dx}(c) = 0, \quad c \text{为常数}
$$
2. 幂函数
$$
\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}, \quad n \in \mathbb{R}
$$
3. 指数函数
$$
\frac{d}{dx}(e^x) = e^x
$$
$$
\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln(a), \quad a > 0, a \neq 1
$$
4. 对数函数
$$
\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}, \quad x > 0
$$
$$
\frac{d}{dx}(\log_a(x)) = \frac{1}{x \ln(a)}, \quad a > 0, a \neq 1, x > 0
$$
5. 正弦函数
$$
\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
$$
6. 余弦函数
$$
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)
$$
7. 正切函数
$$
\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)
$$
8. 余切函数
$$
\frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\csc^2(x)
$$
9. 正割函数
$$
\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x)
$$
10. 余割函数
$$
\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x)
$$
11. 反正弦函数
$$
\frac{d}{dx}(\arcsin(x)) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x| < 1
$$
12. 反余弦函数
$$
\frac{d}{dx}(\arccos(x)) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad |x| < 1
$$
13. 反正切函数
$$
\frac{d}{dx}(\arctan(x)) = \frac{1}{1+x^2}
$$
14. 反余切函数
$$
\frac{d}{dx}(\mathrm{arccot}(x)) = -\frac{1}{1+x^2}
$$
15. 反正割函数
$$
\frac{d}{dx}(\mathrm{arcsec}(x)) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}, \quad |x| > 1
$$
16. 反余割函数
$$
\frac{d}{dx}(\mathrm{arccsc}(x)) = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}, \quad |x| > 1
$$
17. 复合函数（链式法则）
若 $y = f(g(x))$，则：
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
18. 积的导数
若 $u = u(x)$ 和 $v = v(x)$，则：
$$
\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'
$$
19. 商的导数
若 $u = u(x)$ 和 $v = v(x)$，且 $v \neq 0$，则：
$$
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
20. 指数函数与变量相乘
$$
\frac{d}{dx}(xe^x) = (1+x)e^x
$$
21. 对数函数与变量相乘
$$
\frac{d}{dx}(x\ln(x)) = \ln(x) + 1, \quad x > 0
$$
22. 隐函数求导
对于隐函数 $F(x, y) = 0$，有：
$$
\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}
$$
23. 参数方程求导
若 $x = x(t)$，$y = y(t)$，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}, \quad \frac{dx}{dt} \neq 0
$$
24. 高阶导数
若 $f(x)$ 的二阶导数存在，则：
$$
\frac{d^2}{dx^2}f(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{df}{dx}\right)
$$
以上24个基本导数公式是微积分学习中的重要工具，熟练掌握它们能够显著提高解题效率。通过不断练习和应用这些公式，我们可以更好地理解和运用导数这一数学工具。
