在高中数学的学习过程中，三角函数是一个非常重要的知识点，它不仅在课本中占据较大比重，而且在各类考试中也频繁出现。为了帮助同学们更好地掌握这一部分内容，下面整理了一些典型的三角函数练习题，并附有详细的解答过程，便于大家理解与复习。
一、基础题型
1. 已知角α的终边经过点P(3, -4)，求sinα、cosα和tanα的值。
解析：
首先，根据点P(3, -4)，可以确定该点位于第四象限。
设OP为从原点到点P的线段长度（即斜边），则：
$$
r = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
$$
因此，
$$
\sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{-4}{5}, \quad \cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x} = \frac{-4}{3}
$$
2. 计算：$\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ 的值。
解析：
$\frac{7\pi}{6}$ 是在第三象限的角，其参考角为：
$$
\frac{7\pi}{6} - \pi = \frac{\pi}{6}
$$
在第三象限，正弦值为负，所以：
$$
\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}
$$
二、中等难度题型
3. 已知 $\sin\theta = \frac{3}{5}$，且θ在第二象限，求 $\cos\theta$ 和 $\tan\theta$ 的值。
解析：
由于θ在第二象限，cosθ为负，tanθ也为负。
由 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 得：
$$
\cos^2\theta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
$$
$$
\cos\theta = -\frac{4}{5}
$$
$$
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}
$$
4. 化简表达式：$\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}$
解析：
我们可以尝试将分子和分母同时除以 $\cos x$，得到：
$$
\frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} + 1}{\frac{\sin x}{\cos x} - 1} = \frac{\tan x + 1}{\tan x - 1}
$$
这是化简后的一个形式，也可以进一步结合其他公式进行变形。
三、综合应用题
5. 在△ABC中，已知角A=60°，BC=8，AB=5，求AC的长度。
解析：
这是一个利用余弦定理求解的问题。设AC = b，AB = c = 5，BC = a = 8，角A = 60°。
根据余弦定理：
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A
$$
代入数据：
$$
8^2 = b^2 + 5^2 - 2 \cdot b \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ
$$
$$
64 = b^2 + 25 - 10b \cdot \frac{1}{2}
$$
$$
64 = b^2 + 25 - 5b
$$
$$
b^2 - 5b - 39 = 0
$$
解这个二次方程：
$$
b = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 + 4 \cdot 39}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 156}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{181}}{2}
$$
取正值，故：
$$
AC = \frac{5 + \sqrt{181}}{2}
$$
四、总结
通过以上练习题的分析与解答，可以看出，三角函数的应用范围广泛，涉及角度计算、单位圆、三角恒等式以及实际问题的建模。建议同学们在学习时注重基础知识的掌握，多做练习题，逐步提升解题能力。
希望这篇内容能对你的学习有所帮助！如需更多练习题或深入讲解，欢迎继续提问。
