一、向量的基本概念
1. 向量的定义
向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。在数学中，向量可以表示为从点A指向点B的线段，记作$\vec{AB}$或$\vec{a}$。
2. 向量的表示方法
- 几何表示：用带箭头的线段表示；
- 字母表示：如$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$等；
- 坐标表示：若向量的起点在原点，则可以用坐标$(x, y)$来表示该向量。
3. 向量的模
向量的长度称为向量的模，记作$|\vec{a}|$。对于向量$\vec{a} = (x, y)$，其模为：
$$
|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}
$$
4. 零向量与单位向量
- 零向量：长度为0的向量，记作$\vec{0}$，方向任意；
- 单位向量：长度为1的向量，记作$\vec{e}$，任何非零向量都可以单位化。
二、向量的运算
1. 向量的加法
向量加法遵循三角形法则或平行四边形法则。
若$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则：
$$
\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
$$
2. 向量的减法
向量减法可看作加上相反向量，即：
$$
\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})
$$
若$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则：
$$
\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)
$$
3. 向量的数乘
数乘是指一个实数与向量相乘，结果仍为一个向量。
若$\vec{a} = (x, y)$，$k$为实数，则：
$$
k\vec{a} = (kx, ky)
$$
4. 向量的共线性
两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$共线的充要条件是存在实数$\lambda$，使得：
$$
\vec{a} = \lambda \vec{b}
$$
三、平面向量的数量积（点积）
1. 数量积的定义
向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的数量积记作$\vec{a} \cdot \vec{b}$，其值为：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
$$
其中$\theta$为两向量之间的夹角。
2. 数量积的坐标表示
若$\vec{a} = (x_1, y_1)$，$\vec{b} = (x_2, y_2)$，则：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2
$$
3. 数量积的性质
- $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
- $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$
四、向量的应用
1. 向量在几何中的应用
- 判断直线是否平行或垂直；
- 求解三角形的高、面积等；
- 解决平面内点的位置关系问题。
2. 向量在物理中的应用
- 力的合成与分解；
- 速度与加速度的矢量分析；
- 动力学中的矢量运算。
五、典型例题解析
例1： 已知向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 4)$，求$\vec{a} + \vec{b}$和$\vec{a} - \vec{b}$的坐标。
解：
$$
\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1), 3 + 4) = (1, 7)
$$
$$
\vec{a} - \vec{b} = (2 - (-1), 3 - 4) = (3, -1)
$$
例2： 已知$\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (3, -1)$，求$\vec{a} \cdot \vec{b}$。
解：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) = 3 - 2 = 1
$$
六、小结
平面向量是高中数学的重要内容，它不仅是代数与几何的桥梁，也是解决实际问题的重要工具。掌握向量的定义、运算及应用，有助于提高空间想象能力和逻辑推理能力。通过不断练习，能够更好地理解和运用向量知识。
