【1.3.2有理数的减法.3.2有理数的减法】在数学的学习过程中，有理数的减法是一个基础而重要的知识点。它不仅为后续学习分数、小数以及代数运算打下坚实的基础，同时也是日常生活中解决实际问题的重要工具。

一、有理数的基本概念

首先，我们需要明确什么是“有理数”。有理数是指可以表示为两个整数之比的数，即形如 $ \frac{a}{b} $（其中 $ a $ 和 $ b $ 都是整数，且 $ b \neq 0 $）的数。包括正整数、负整数、零、正分数和负分数等。例如：$ 3, -5, 0, \frac{1}{2}, -\frac{3}{4} $ 等都是有理数。

二、有理数的减法法则

有理数的减法运算遵循一定的规则。其基本原理是：将减法转化为加法，即：

$$

a - b = a + (-b)

$$

也就是说，减去一个数等于加上这个数的相反数。例如：

- $ 7 - 3 = 7 + (-3) = 4 $

- $ -2 - 5 = -2 + (-5) = -7 $

- $ \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4} $

三、不同情况下的减法运算

1. 正数与正数相减

当两个正数相减时，结果可能是正数也可能是负数，取决于被减数和减数的大小关系。例如：

- $ 8 - 5 = 3 $

- $ 5 - 8 = -3 $

2. 负数与正数相减

此时相当于将一个负数加上一个负数，结果会更小。例如：

- $ -4 - 6 = -4 + (-6) = -10 $

- $ -3 - 2 = -3 + (-2) = -5 $

3. 正数与负数相减

这种情况下，实际上是将一个正数加上一个负数的相反数，也就是加上一个正数。例如：

- $ 6 - (-2) = 6 + 2 = 8 $

- $ 9 - (-5) = 9 + 5 = 14 $

4. 负数与负数相减

这相当于将两个负数相加，结果会更小。例如：

- $ -7 - (-3) = -7 + 3 = -4 $

- $ -5 - (-8) = -5 + 8 = 3 $

四、有理数减法的应用

有理数的减法不仅仅存在于数学课本中，它在现实生活中也有广泛的应用。例如：

- 温度变化：从 $ 5^\circ C $ 下降到 $ -3^\circ C $，温度的变化量为 $ 5 - (-3) = 8^\circ C $。

- 财务管理：如果某人账户中有 100 元，支出 50 元后，剩余金额为 $ 100 - 50 = 50 $ 元；若再支出 70 元，则为 $ 50 - 70 = -20 $ 元，表示欠款。

- 地图上的高度差：从海拔 200 米下降到海拔 -50 米，高度差为 $ 200 - (-50) = 250 $ 米。

五、练习与巩固

为了更好地掌握有理数的减法，建议多做以下类型的题目：

1. 计算：$ -12 - 7 $

2. 计算：$ 9 - (-4) $

3. 计算：$ \frac{5}{6} - \frac{1}{3} $

4. 计算：$ -3.2 - (-1.5) $

答案分别是：

1. $ -19 $

2. $ 13 $

3. $ \frac{1}{2} $

4. $ -1.7 $

通过不断练习和理解，我们可以更加熟练地运用有理数的减法，为今后的数学学习打下坚实的基础。同时，也要注意在计算过程中保持细心，避免因符号错误而导致结果出错。