在数学学习中，基本不等式是一个非常重要的知识点，它不仅在理论研究中有广泛的应用，在实际问题解决中也扮演着重要角色。今天我们就通过一些练习题来加深对基本不等式的理解。

练习题1：

已知a > 0, b > 0，且a + b = 1，求证：

\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \]

解析：根据基本不等式 \( \frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} \)，我们可以得到：

\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]

由于a + b = 1，所以：

\[ \frac{1}{2} \geq \sqrt{ab} \]

两边平方得：

\[ \frac{1}{4} \geq ab \]

接下来考虑倒数和的形式：

\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{ab} \]

由上面的结果可知 \( ab \leq \frac{1}{4} \)，因此：

\[ \frac{1}{ab} \geq 4 \]

即：

\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \]

练习题2：

设x, y均为正数，并且满足条件 \( x^2 + y^2 = 1 \)，试证明：

\[ xy \leq \frac{1}{2} \]

解析：同样利用基本不等式 \( \frac{x^2 + y^2}{2} \geq xy \)。将给定条件代入后可得：

\[ \frac{1}{2} \geq xy \]

从而证明了 \( xy \leq \frac{1}{2} \)。

练习题3：

若m, n为非负实数，且m+n=2，请问当m为何值时，\( m^n \cdot n^m \)取得最大值？

解析：这个问题需要结合指数函数与对数性质来分析。首先设函数f(m) = \( m^n \cdot n^m \)，通过对该函数求导并令其等于零的方法寻找极值点。经过计算可以发现，当m=n=1时，函数f(m)达到最大值。

以上就是几道关于基本不等式的典型练习题及其解答过程。希望大家能够通过这些题目更好地掌握基本不等式的应用技巧。记住，熟练掌握基本概念是解题的关键所在！