在学习线性代数的过程中，掌握基本概念和解题技巧是非常重要的。下面是一些精选的综合练习题及其详细解答，帮助大家巩固所学知识。

练习题一

设矩阵A = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\]，求其逆矩阵A⁻¹。

解答：

首先计算矩阵A的行列式det(A) = (1)(4) - (2)(3) = -2。

然后根据公式求得A⁻¹ = \(\frac{1}{-2}\) \[\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}\]

练习题二

给定向量v = \[\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\] 和w = \[\begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{bmatrix}\]，计算它们的点积v·w。

解答：

点积v·w = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32。

练习题三

判断矩阵B = \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\] 是否为单位矩阵，并解释原因。

解答：

矩阵B是单位矩阵。因为单位矩阵的特点是对角线上的元素全为1，其他位置的元素均为0，且满足矩阵乘法的单位性质。

练习题四

设矩阵C = \[\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\]，求其特征值和特征向量。

解答：

特征值由方程|C - λI| = 0决定，即\[\begin{vmatrix} 2-λ & 0 \\ 0 & 3-λ \end{vmatrix}\] = (2-λ)(3-λ) = 0。

解得特征值λ₁ = 2，λ₂ = 3。

对于λ₁ = 2，解方程(C - 2I)v = 0得到特征向量v₁ = \[\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\]。

对于λ₂ = 3，解方程(C - 3I)v = 0得到特征向量v₂ = \[\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]。

以上是几个典型的线性代数练习题及其解答，希望对大家的学习有所帮助。继续深入练习，相信你会在这一领域取得更大的进步！