在高中数学中，三角函数是重要的基础知识之一，它不仅在数学本身有广泛应用，在物理、工程等领域也具有重要意义。掌握三角函数的定义域、值域以及单调区间，有助于我们更好地理解其图像特征和性质，从而解决相关问题。
一、三角函数的基本概念
常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）和余切函数（cot）。这些函数都是以角度或弧度为自变量的周期性函数，它们的定义域、值域和单调性各不相同，下面将分别进行详细分析。
二、正弦函数 $ y = \sin x $
1. 定义域：
正弦函数的定义域是全体实数，即 $ x \in \mathbb{R} $。
2. 值域：
正弦函数的取值范围是 $ [-1, 1] $，即 $ y \in [-1, 1] $。
3. 单调区间：
- 在区间 $ \left[ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right] $（$ k \in \mathbb{Z} $）上，函数单调递增。
- 在区间 $ \left[ \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right] $ 上，函数单调递减。
三、余弦函数 $ y = \cos x $
1. 定义域：
余弦函数的定义域同样是全体实数，即 $ x \in \mathbb{R} $。
2. 值域：
余弦函数的取值范围也是 $ [-1, 1] $。
3. 单调区间：
- 在区间 $ [2k\pi, \pi + 2k\pi] $（$ k \in \mathbb{Z} $）上，函数单调递减。
- 在区间 $ [\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi] $ 上，函数单调递增。
四、正切函数 $ y = \tan x $
1. 定义域：
正切函数的定义域为所有实数，除去使分母为零的点，即
$ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $，其中 $ k \in \mathbb{Z} $。
2. 值域：
正切函数的值域是全体实数，即 $ y \in \mathbb{R} $。
3. 单调区间：
正切函数在其每一个定义区间内（如 $ \left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right) $）都是单调递增的。
五、余切函数 $ y = \cot x $
1. 定义域：
余切函数的定义域为所有实数，除去使分母为零的点，即
$ x \neq k\pi $，其中 $ k \in \mathbb{Z} $。
2. 值域：
余切函数的值域同样是全体实数，即 $ y \in \mathbb{R} $。
3. 单调区间：
余切函数在其每一个定义区间内（如 $ (k\pi, \pi + k\pi) $）都是单调递减的。
六、典型例题与解答
例题1：求函数 $ y = \sin x $ 的定义域和值域。
解：
- 定义域为 $ x \in \mathbb{R} $；
- 值域为 $ [-1, 1] $。
例题2：指出函数 $ y = \tan x $ 的单调区间。
解：
在每个区间 $ \left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right) $（$ k \in \mathbb{Z} $）上，函数单调递增。
例题3：写出函数 $ y = \cos x $ 的单调递增区间。
解：
在区间 $ [2k\pi, \pi + 2k\pi] $（$ k \in \mathbb{Z} $）上，函数单调递增。
七、总结
通过对正弦、余弦、正切和余切函数的定义域、值域和单调区间的分析，我们可以更清晰地理解它们的图像变化规律。这些知识不仅是考试中的重点内容，也是后续学习三角函数图像变换、导数应用等知识的基础。
参考答案：
1. 正弦函数的定义域是 $ \mathbb{R} $，值域是 $ [-1, 1] $。
2. 余弦函数的定义域是 $ \mathbb{R} $，值域是 $ [-1, 1] $。
3. 正切函数的定义域是 $ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $，值域是 $ \mathbb{R} $。
4. 余切函数的定义域是 $ x \neq k\pi $，值域是 $ \mathbb{R} $。
5. 正弦函数在 $ \left[ -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right] $ 上单调递增。
6. 余弦函数在 $ [2k\pi, \pi + 2k\pi] $ 上单调递减。
7. 正切函数在 $ \left( -\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi \right) $ 上单调递增。
8. 余切函数在 $ (k\pi, \pi + k\pi) $ 上单调递减。
通过系统学习和练习，可以更加熟练地掌握三角函数的相关性质，提升解题能力与数学素养。
