【2023年数学新高考二卷解答第18题】在2023年全国普通高等学校招生统一考试中，数学新高考二卷的第18题是一道综合性较强的题目，考察了学生对三角函数、向量以及几何关系的理解与应用能力。该题不仅考查基础知识的掌握程度，还强调逻辑推理与解题技巧的灵活运用。
题目
> 已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$，$\vec{b} = (\cos\theta, \sin\theta)$，其中 $\theta \in [0, 2\pi)$，设向量 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$，且 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 $\alpha$，$\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\beta$。若 $\alpha = \beta$，求 $\theta$ 的值。
解题思路
首先，我们分析题目的已知条件和所求目标：
- 向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ 是一个固定向量，其模长为：
$$
|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2
$$
- 向量 $\vec{b} = (\cos\theta, \sin\theta)$ 是单位向量，因为：
$$
|\vec{b}| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1
$$
- 向量 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$，即：
$$
\vec{c} = (1 + \cos\theta, \sqrt{3} + \sin\theta)
$$
题目要求的是：当 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角等于 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角时，求 $\theta$ 的取值。
解法步骤
根据向量夹角公式，两个向量 $\vec{u}$ 和 $\vec{v}$ 的夹角 $\phi$ 满足：
$$
\cos\phi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}
$$
因此，我们可以分别计算 $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$、$\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角余弦值，并令其相等。
1. 计算 $\vec{c} \cdot \vec{a}$
$$
\vec{c} \cdot \vec{a} = (1 + \cos\theta)\cdot 1 + (\sqrt{3} + \sin\theta)\cdot \sqrt{3} = 1 + \cos\theta + 3 + \sqrt{3}\sin\theta = 4 + \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta
$$
$$
|\vec{c}| = \sqrt{(1 + \cos\theta)^2 + (\sqrt{3} + \sin\theta)^2}
$$
展开并化简：
$$
(1 + \cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta
$$
$$
(\sqrt{3} + \sin\theta)^2 = 3 + 2\sqrt{3}\sin\theta + \sin^2\theta
$$
$$
|\vec{c}|^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + 3 + 2\sqrt{3}\sin\theta + \sin^2\theta = 4 + 2\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta + (\cos^2\theta + \sin^2\theta)
$$
$$
= 4 + 2\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta + 1 = 5 + 2\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta
$$
所以：
$$
|\vec{c}| = \sqrt{5 + 2\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta}
$$
于是：
$$
\cos\alpha = \frac{4 + \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta}{2 \cdot \sqrt{5 + 2\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta}}
$$
2. 计算 $\vec{c} \cdot \vec{b}$
$$
\vec{c} \cdot \vec{b} = (1 + \cos\theta)\cos\theta + (\sqrt{3} + \sin\theta)\sin\theta = \cos\theta + \cos^2\theta + \sqrt{3}\sin\theta + \sin^2\theta
$$
$$
= \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta + (\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1
$$
$$
\cos\beta = \frac{\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1}{|\vec{c}|}
$$
因为 $|\vec{b}| = 1$，所以：
$$
\cos\beta = \frac{\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1}{\sqrt{5 + 2\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta}}
$$
令 $\cos\alpha = \cos\beta$
根据题意，$\alpha = \beta$，则有：
$$
\frac{4 + \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta}{2 \cdot \sqrt{5 + 2\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta}} = \frac{\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1}{\sqrt{5 + 2\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta}}
$$
两边同时乘以分母，得到：
$$
\frac{4 + \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta}{2} = \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta + 1
$$
两边乘以2：
$$
4 + \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = 2\cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta + 2
$$
移项整理：
$$
4 - 2 = 2\cos\theta - \cos\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta - \sqrt{3}\sin\theta
$$
$$
2 = \cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta
$$
解方程 $\cos\theta + \sqrt{3}\sin\theta = 2$
这是一个标准的三角恒等式形式，可以写成：
$$
R\cos(\theta - \phi) = 2
$$
其中：
$$
R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2
$$
$$
\phi = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}
$$
因此原式变为：
$$
2\cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 2
\Rightarrow \cos\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = 1
$$
解得：
$$
\theta - \frac{\pi}{3} = 2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
$$
由于 $\theta \in [0, 2\pi)$，唯一满足条件的解是：
$$
\theta = \frac{\pi}{3}
$$
最终答案：
$$
\boxed{\theta = \frac{\pi}{3}}
$$
