【常用傅立叶变换表】在信号处理、通信工程、物理学以及数学分析等多个领域中，傅立叶变换是一种极为重要的工具。它能够将时域中的信号转换为频域表示，从而帮助我们更好地理解信号的频率成分。为了便于快速查阅和应用，人们总结出了一些常用的傅立叶变换对，形成了所谓的“常用傅立叶变换表”。

以下是一些常见的函数及其对应的傅立叶变换形式，适用于连续时间信号（即经典傅立叶变换）。

1. 常数函数

时域： $ f(t) = 1 $

频域： $ F(\omega) = 2\pi \delta(\omega) $

说明：常数函数在频域中表现为一个冲激函数，位于频率为0的位置。

2. 冲激函数

时域： $ f(t) = \delta(t) $

频域： $ F(\omega) = 1 $

说明：冲激函数在频域中是均匀分布的，即所有频率成分都有相同的幅度。

3. 指数函数

时域： $ f(t) = e^{-at}u(t), \quad a > 0 $

频域： $ F(\omega) = \frac{1}{a + j\omega} $

说明：该函数描述的是一个指数衰减的信号，其频谱随频率变化而平滑下降。

4. 正弦函数

时域： $ f(t) = \sin(\omega_0 t) $

频域： $ F(\omega) = \frac{\pi}{j} [\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)] $

说明：正弦信号在频域中表现为两个对称的冲激，分别位于正负频率 $\omega_0$ 处。

5. 余弦函数

时域： $ f(t) = \cos(\omega_0 t) $

频域： $ F(\omega) = \pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] $

说明：余弦信号同样在频域中表现为两个对称的冲激，但符号相同。

6. 阶跃函数

时域： $ f(t) = u(t) $

频域： $ F(\omega) = \frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega) $

说明：阶跃函数在频域中包含一个奇函数项和一个冲激项，表明其具有直流分量和高频成分。

7. 矩形脉冲

时域： $ f(t) = \text{rect}(t/T) $，其中 $ \text{rect}(t/T) = 1 $ 当 $ |t| < T/2 $，否则为0

频域： $ F(\omega) = T \cdot \text{sinc}\left( \frac{\omega T}{2} \right) $

说明：矩形脉冲在频域中呈现为一个 sinc 函数，其主瓣宽度与时间宽度成反比。

8. 高斯函数

时域： $ f(t) = e^{-at^2} $

频域： $ F(\omega) = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{-\frac{\omega^2}{4a}} $

说明：高斯函数在时域和频域中都保持高斯形状，是唯一同时具有高斯特性的函数。

9. 三角函数

时域： $ f(t) = \text{tri}(t/T) $，即三角脉冲

频域： $ F(\omega) = T \cdot \text{sinc}^2\left( \frac{\omega T}{2} \right) $

说明：三角脉冲的频谱为 sinc 函数的平方，表明其频带更窄。

10. 单位脉冲序列

时域： $ f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) $

频域： $ F(\omega) = \frac{2\pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - k\omega_0) $，其中 $ \omega_0 = \frac{2\pi}{T} $

说明：周期性冲激序列在频域中表现为等间隔的冲激序列，称为频域采样。

以上是一些较为常见的傅立叶变换对，它们在实际工程和理论研究中有着广泛的应用。了解这些变换关系有助于快速分析信号特性、设计滤波器、进行频谱分析等。

在使用傅立叶变换时，需要注意其定义方式（如是否带有归一化因子），不同的教材或文献可能会采用不同的标准形式。因此，在具体应用时应根据所使用的公式进行调整。

掌握这些基础变换关系，是进一步学习数字信号处理、通信系统、图像处理等领域的关键一步。