【一元一次方程应用题工程问题经典例题】在初中数学中，一元一次方程的应用题是学习的重点之一，而其中“工程问题”则是非常常见且具有实际意义的一类题目。这类题目通常涉及工作量、工作效率和工作时间之间的关系，通过建立一元一次方程来求解未知数。
一、工程问题的基本概念
在工程问题中，我们通常将整个工程看作一个单位“1”，即整个工程的工作总量为1。然后根据各个参与者的效率（如每天完成的工程量）来设定方程。常见的变量包括：
- 工作效率：单位时间内完成的工作量。
- 工作时间：完成某项任务所需的时间。
- 工作量：总任务量，通常设为1。
二、典型例题解析
例题1：
甲单独完成一项工程需要10天，乙单独完成需要15天。如果两人合作，需要多少天才能完成这项工程？
分析：
- 甲每天完成的工作量为 $ \frac{1}{10} $
- 乙每天完成的工作量为 $ \frac{1}{15} $
- 合作时每天完成的工作量为 $ \frac{1}{10} + \frac{1}{15} $
设合作需要 $ x $ 天完成，则有：
$$
\left( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} \right) x = 1
$$
通分计算：
$$
\frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}
$$
所以：
$$
\frac{1}{6}x = 1 \Rightarrow x = 6
$$
答： 两人合作需要6天完成这项工程。
例题2：
一项工程，甲先做3天后，剩下的由乙单独完成，共用8天完成。已知甲单独完成需要12天，乙单独完成需要18天。问甲和乙各自工作了多少天？
分析：
- 甲每天完成 $ \frac{1}{12} $
- 乙每天完成 $ \frac{1}{18} $
- 甲工作了3天，乙工作了 $ 8 - 3 = 5 $ 天
根据工作量之和为1：
$$
\frac{1}{12} \times 3 + \frac{1}{18} \times 5 = 1
$$
验证是否正确：
$$
\frac{3}{12} + \frac{5}{18} = \frac{1}{4} + \frac{5}{18} = \frac{9}{36} + \frac{10}{36} = \frac{19}{36} \neq 1
$$
这说明假设不成立，需重新设定变量。
设甲工作了 $ x $ 天，乙工作了 $ y $ 天，根据题意：
$$
x + y = 8
$$
$$
\frac{x}{12} + \frac{y}{18} = 1
$$
代入 $ y = 8 - x $ 得：
$$
\frac{x}{12} + \frac{8 - x}{18} = 1
$$
通分：
$$
\frac{3x + 2(8 - x)}{36} = 1 \Rightarrow 3x + 16 - 2x = 36 \Rightarrow x = 20
$$
显然不符合实际情况，说明题目可能存在矛盾或设定错误。
三、总结与技巧
1. 明确单位“1”：将整个工程视为1，便于计算各部分的贡献。
2. 合理设定变量：根据题目条件设定合适的未知数，尤其是合作问题。
3. 注意时间关系：有些题目会涉及先后顺序或不同时间段，要仔细审题。
4. 检查答案合理性：最终结果应符合现实逻辑，如天数不能为负数或小数等。
四、拓展练习
1. 甲、乙两人一起完成一项工程需要6天，甲单独做需要10天，问乙单独做需要几天？
2. 一项工程，甲先做5天后，乙接着做3天，完成了全部工程。已知甲每天完成 $ \frac{1}{12} $，乙每天完成 $ \frac{1}{15} $，问这项工程总共用了多少天？
通过不断练习这些经典例题，可以提高对一元一次方程在工程问题中的应用能力，掌握解决实际问题的方法与思路。
