在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具，而二倍角公式则是其中非常实用的一部分。通过这些公式，我们可以更方便地解决一些复杂的三角函数问题。以下是一些关于二倍角公式的练习题及其详细解答，供学习者参考。
练习题：
1. 已知 $\sin \alpha = \frac{3}{5}$，且 $\alpha$ 在第一象限，求 $\sin 2\alpha$ 和 $\cos 2\alpha$ 的值。
解答：
根据二倍角公式：
$$
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
$$
$$
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha
$$
首先，我们需要计算 $\cos \alpha$。由于 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$，则：
$$
\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
$$
因为 $\alpha$ 在第一象限，$\cos \alpha > 0$，所以 $\cos \alpha = \frac{4}{5}$。
现在代入公式：
$$
\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}
$$
$$
\cos 2\alpha = \left(\frac{4}{5}\right)^2 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}
$$
所以，$\sin 2\alpha = \frac{24}{25}$，$\cos 2\alpha = \frac{7}{25}$。
2. 若 $\tan \alpha = 2$，求 $\tan 2\alpha$ 的值。
解答：
根据二倍角公式：
$$
\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}
$$
将 $\tan \alpha = 2$ 代入公式：
$$
\tan 2\alpha = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{1 - 4} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3}
$$
所以，$\tan 2\alpha = -\frac{4}{3}$。
总结：
通过以上练习，我们可以看到二倍角公式在解决三角函数问题中的重要性。熟练掌握这些公式不仅可以提高解题效率，还能帮助我们更好地理解三角函数的本质。希望这些练习能够对你的学习有所帮助！
